講義要綱

●第１章　微分法（関数の極限、導関数、Taylorの定理、関数の性質、微分法の応用）、第２章　偏微分法（多変数関数の極限、偏導関数、極値問題、偏微分の応用）
　例えば０時からx 時までの車の移動距離を y=f(x) で表すと、a 時からb 時までの車の平均速度はその間の移動距離 f(b)－f(a) を時間 b－a で割ったものになる。その間車の速度は一定ではなく、絶えず変化していると考えるのが自然であろう。ではa 時での車の瞬間の速度はどうなるであろうか。b が a に近ければ近いほどその間の平均速度は瞬間の速度に近づくと考えられる。そこで b を a に限りなく近づけるという極限の概念がでてくる。b を a に限りなく近づけたときの平均速度の極限 f’(a)が a 時の瞬間速度である。車の移動の様子は速度 f’(a) 加速度 f”(x) によってある程度調べることができる。
　１章ではいろいろな関数 f(x) について f’(x) の求め方、f’(x) と関数 f(x) の増減、f”(x) と関数 f(x) の凹凸との関係、関数の極値について学ぶ。また、関数を多項式関数で近似し、その誤差を調べる、Taylorの定理を学ぶ。
　２変数の関数 z=f(x,y) は空間の曲面を表していると考えることができる。
　曲面 z=f(x,y) が山を表していると想像してください。山の様子を知るにはどのような方法があるだろうか。例えば地図は等高線で山の様子を表している。同様にいろいろな高さ c の等高線 f(x,y)=c を考えることにより曲面の様子を調べる。また山を縦方向に切断してその切断面を調べることによって山の様子を知ることができる。z=f(x,y) は y=b とすると x だけの関数 z=f(x,b) となるし、x=a とすると y だけの関数 z=f(a,y) となる、１変数の関数は１章により詳しく調べることができるので、これらを利用して z=f(x,y) の様子も調べることができる。
　２章では２変数関数 z=f(x,y) について x =a または y＝b と固定したときの微分にあたる偏微分を学ぶ。また山の頂上にあたる極大値、山道を歩いたときの峠にあたるある条件のもとでの極大値などを学ぶ。
●第３章　不定積分（不定積分、置換積分法・部分積分法、有理関数・無理関数・三角関数の積分）、第４章　定積分（定積分、定積分の計算、定積分の定義の拡張）、第５章　定積分の応用（面積・体積、道のり・曲線の長さ）、第６章　重積分（２重積分、重積分の計算、体積・曲面積）、第７章　微分方程式（微分方程式とその解、微分方程式の解法）
　積分法は微分法の逆の演算で微分法と表裏一体をなすものです。ここでは前半で学んだ微分、偏微分等の知識を踏まえて積分に関する基礎事項を学びます。

テキストの読み方

テキストにはたくさんの演習問題が出題されています。これらを地道に解きながらテキストを読み進めましょう。

　第１章ではまずいろいろな関数 f(x) について導関数 f’(x) を求められるようにしてください。合成関数の導関数の公式が使えるようになると、導関数を求めることができる関数がぐっと増えます。次に f’(x)、f”(x) を調べることにより y=f(x) のグラフの概形を描けるようになるようにしてください。
　第２章ではまず偏導関数の計算を練習してください。偏導関数についても合成関数の偏導関数の公式は重要です。次に、２変数関数の極値、条件付き極値問題に進んでください。
　第３章では与えられた関数が導関数であるようなもとの関数を求める方法を学びます。簡単な関数の不定積分と、置換積分法および部分積分法を組み合わせることで、いろいろな関数の不定積分が計算できるようになります。
　第４章では平面図形の面積や立体図形の体積を求めることから生まれてきた定積分について学びます。ここでも置換積分法や部分積分法が用いられます。演習問題を数多く解くことで、定積分の計算方法を習得してください。
　第５章では定積分の応用として曲線で囲まれた図形の面積や回転体の体積の求め方を学びます。定積分のさらなる応用として、曲線の長さを求めることができるようになります。
　第６章では１変数関数の定積分の拡張である重積分について学びます。２変数関数の積分は２重積分、３変数関数の積分は３重積分と呼ばれ、いろいろな領域上での重積分の計算を、１変数関数の定積分の計算に帰着させる方法を身につけることが目標です。
　第７章では不定積分の応用の一つとして微分方程式について学びます。自然現象や社会科学的な現象を数学的に表現する手段として、微分方程式は様々な場面に登場します。ここでは第３章で学んだ範囲で解けるいくつかのタイプの微分方程式の解法を学習します。

『学修の手引』「数学（微分・積分）の学び方」も確認してください。

履修上の注意

高校2年生までの数学を学んだ人が対象です。

成績評価方法

科目試験による。

レポート作成上の注意

第1回
　答えだけではなく、その結論に至る過程も丁寧に記述してください。
　１．極限の問題です。
　２．は条件付き最大値の問題です。
　３．は微分の応用の問題です。
　テキストの該当する個所をよく読んで、理解してからレポートを作成してください。
第2回
　最終的な「答」のみを記載したものは不可です。問題文からどのように着想し、どのような思考をして結論に至ったのかわかるように、丁寧に記述してください。特に、問題２．4）ではテキストp. 38の（4.18）式を、また問題３．3）では同じくp. 39の（4.24）式をそれぞれ用いて解答してください。
　なお、レポート解答の作成全般にいえることですが、テキストや参考文献に記載の定理や命題等の結果からの引用を行った場合には、その都度、引用箇所を明記することも重要です。